Question

20．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）求使f（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0聯(lián)立不等式組求得原函數(shù)的定義域；
（2）由定義法直接證明函數(shù)為奇函數(shù)；
（3）由f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）=$ln\frac{1+x}{1-x}＞0$，然后求解分式不等式得答案．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，得-1＜x＜1．
∴函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）的定義域?yàn)椋?1，1）；
（2）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
事實(shí)上，函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）的定義域?yàn)椋?1，1），
且f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-[ln（1+x）-ln（1-x）]=-f（x）．
∴f（x）是定義域內(nèi)的奇函數(shù)；
（3）由f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）=$ln\frac{1+x}{1-x}＞0$，
得$\frac{1+x}{1-x}＞1$，即$\frac{2x}{1-x}＞0$，解得：0＜x＜1．
∴滿(mǎn)足f（x）＞0的x的取值范圍是（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查了對(duì)數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題．