Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

(x-1)2+lnx-ax+a
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求證：對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1；
（2）若x∈（1，3）時(shí)，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令g（x）=f（x）+x（x＞0），因?yàn)?span id="tgfl98v" class="MathJye">g′(x)=f′(x)+1=

(x-1)2

x

≥0，所以g（x）在（0，+∞）上遞增，由此能夠證明

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1．
（2）由x∈（1，3）時(shí)，f（x）＞0恒成立，分a≤1和a＞1兩種情況進(jìn)行分類討論，由此能求出a的取值范圍．

解答：解：（1）令g（x）=f（x）+x（x＞0），
因?yàn)?span id="8cpjejv" class="MathJye">g′(x)=f′(x)+1=

(x-1)2

x

≥0，
所以g（x）在（0，+∞）上遞增，（3分）
所以g（x₂）＞g（x₁），
故

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1．（5分）
（2）∵x∈（1，3）時(shí)，f（x）＞0恒成立，
當(dāng)a≤1時(shí)，
f′(x)=x+

1

x

-a-1＞2-a-1≥0
∴f（x）在（1，3）上遞增，
所以f（x）＞f（1）=0滿足條件．（8分）
當(dāng)a＞1時(shí)，
令f′(x)＜0⇒0＜

a+1- a2+2a-3

2

=x1＜x＜x2=

a+1+ a2+2a-3

2

，
∵f′（1）=1-a＜0，
∴x₁＜1＜x₂，
令b=min{x₂，3}，則f（x）在（1，b）上遞減，
所以f（x）＜f（1）=0，不合題意．（11分）
綜上a的取值范圍為{a|a≤1}．（12分）

點(diǎn)評：本題考查不等式的證明，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、分類討論思想的合理運(yùn)用．