Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB，且F是CD的中點．

(1)求證：AF∥平面BCE；

(2)求證：平面BCE⊥平面CDE；

(3)求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)解：取CE中點P，連結(jié)FP、BP， 　　∵F為CD的中點，∴FP∥DE，且FP＝ 　　又AB∥DE，且AB＝∴AB∥FP，且AB＝FP， 　　∴ABPF為平行四邊形，∴AF∥BP．　2分 　　又∵AF平面BCE，BP平面BCE， 　　∴AF∥平面BCE．　4分 　　　(2)∵△ACD為正三角形，∴AF⊥CD 　　∵AB⊥平面ACD，DE∥AB， 　　∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD， 　　∴DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE＝D， 　　∴AF⊥平面CDE．　6分 　　又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE．又∵BP平面BCE， 　　∴平面BCE⊥平面CDE．　8分 　　(3)法一、由(2)，以F為坐標原點， 　　FA，F(xiàn)D，F(xiàn)P所在的直線分別為x，y，z軸(如圖)， 　　建立空間直角坐標系F－xyz．設(shè)AC＝2， 　　則C(0，－1，0)，　9分 　　　11分 　　顯然，為平面ACD的法向量． 　　設(shè)面BCE與面ACD所成銳二面角為 　　則． 　　即平面BCE與平面ACD所成銳二面角為45°．　14分 　　法二、延長EB、DA，設(shè)EB、DA交于一點O，連結(jié)CO． 　　則． 　　由AB是的中位線，則． 　　在，． 　　，又． 　　 　　．　12分 　　 　　即平面BCE與平面ACD所成銳二面角為45°．　14分