Question

4．已知命題p：對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有x²+ax+a＞0恒成立；
命題q：關(guān)于x的方程x²-x+a=0有實(shí)數(shù)根；
如果“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 先分別求得p為真命題，q為真命題時(shí)，a的范圍，再根據(jù)命題p或q為真命題，p且q為假命題，可得p和q有且只有一個(gè)是真命題，從而分p真q假，p假 q真，分別求得a的范圍，最后求出它們的并集即可．

解答 解：對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有x²+ax+a＞0恒成立?△＜0?0＜a＜4
命題p：?0＜a＜4…（2分）
關(guān)于x的方程x²-x+a=0有實(shí)數(shù)根?△≥0?1-4a≥0?a≤$\frac{1}{4}$；
命題q：$?a≤\frac{1}{4}$…（4分）
∵“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，
∴p與q一真一假．…（6分）
如果p真，q假$?\left\{\begin{array}{l}0＜a＜4\\ a＞\frac{1}{4}\end{array}\right.?\frac{1}{4}＜a＜4$；…（8分）

如果p假q真$?\left\{\begin{array}{l}a≤0或a≥4\\ a≤\frac{1}{4}\end{array}\right.?a≤0$…（10分）
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為$（{-∞，0}]∪（{\frac{1}{4}，4}）$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題以命題為載體，考查復(fù)合命題的真假運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)命題p或q為真命題，p且q為假命題，可得p和q有且只有一個(gè)是真命題，屬于中檔題．