Question

已知函數(shù)f(x)=ex+

1

x-a

．
（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，求f（x）在x=0處的切線方程；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，判斷方程f（x）=0實(shí)根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率，然后根據(jù)切點(diǎn)和斜率可求出切線方程；
（2）先求定義域，然后討論x的范圍，可直接判定f（x）在區(qū)間（a，+∞）上的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，在（-∞，a）上可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，可判定實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）f(x)=ex+

1

x-a

，f′(x)=ex-

1

(x-a)2

，f′(0)=1-

1

a2

．
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f'（0）=-3．又f（0）=-1．                           …．．（2分）
所以f（x）在x=0處的切線方程為y=-3x-1．                     …．．（4分）
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，a）∪（a，+∞）．
當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，ex＞0，

1

x-a

＞0，所以f(x)=ex+

1

x-a

＞0．
即f（x）在區(qū)間（a，+∞）上沒有實(shí)數(shù)根．                            …．．（6分）
當(dāng)x∈（-∞，a）時(shí)，f(x)=ex+

1

x-a

=

ex(x-a)+1

x-a

，
令g（x）=e^x（x-a）+1．                                          …（8分）
只要討論g（x）=0根的個(gè)數(shù)即可．g'（x）=e^x（x-a+1），g'（a-1）=0．
當(dāng)x∈（-∞，a-1）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（a-1，a）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）是增函數(shù)．
所以g（x）在區(qū)間（-∞，a）上的最小值為g（a-1）=1-e^a-1．                   …．．（10分）
∵a＞1時(shí)，g（a-1）=1-e^a-1＜0，即f（x）有兩個(gè)實(shí)根．               …．．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及根的個(gè)數(shù)判斷，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．