Question

已知函數(shù)f(x)=4x³+ax²+bx+5的圖象在x=1處的切線方程為y=-12x,且f(1)=-12.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)求函數(shù)f(x)在［-3,1］上的最值.

Answer 1

思路分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，在求函數(shù)的最值時，可利用求最值的一般步驟.

解：(1)f′(x)=12x²+2ax+b,而y=f(x)在x=1處的切線方程為:

y=-12x

∴a=-3,b=-18.

故f(x)=4x³-3x²-18x+5.

(2)∵f′(x)=12x²-6x-18=6(x+1)(2x-3).

令f′(x)=0,解得臨界點為x₁=-1,x₂=.

那么f(x)的增減性及極值如下：

x	(-∞,-1)	-1	(-1,)		(,+∞)
f′(x)的符號	+	0	-	0	+
f(x)的增減性	遞增	極大值16	遞減	極小值	遞增

∵臨界點x₁=-1屬于［-3,1］,且f(-1)=16.

又f(-3)=-76,f(1)=-12,

∴函數(shù)f(x)在［-3,1］上的最大值為16,最小值為-76.