Question

（2011•咸陽三模）已知函數(shù)f（x）=x²+lnx-ax．
（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，求a得取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的結(jié)論下，設(shè)g（x）=x²+|x-a|，（1≤x≤3），求函數(shù)g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求單調(diào)增區(qū)間，先求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0即可．（Ⅱ）已知f（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)，即f′（x）≥0在區(qū)間（0，1）上恒成立，然后用分離參數(shù)求最值即可．
（Ⅲ）去絕對值符號，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間上求最值問題，對對稱軸討論．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=x²+lnx-3x；
∴f′(x)=2x+

1

x

-3
由f′（x）＞0得，0＜x＜

1

2

或x＞1；
故所求f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(0，

1

2

)、(1，+∞)
（Ⅱ）f′(x)=2x+

1

x

-a．
∵f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
∴2x+

1

x

-a＞0在（0，1）上恒成立，即a＜2x+

1

x

恒成立．
∵2x+

1

x

≥2

2

（當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

2

時(shí)取等號）．
所以a＜2

2

．
當(dāng)a=2

2

時(shí)，易知f（x）在（0，1）上也是增函數(shù)，
所以a≤2

2

．　
（Ⅲ）由（Ⅱ）知a≤2

2

當(dāng)a≤1時(shí)，g（x）=x²+x-a在區(qū)間[1，3]上是增函數(shù)
所以g（x）的最小值為g（1）=2-a．　　　　
當(dāng)1＜a≤2

2

時(shí)，g(x)=

x2-x+a(1≤x＜a) x2+x-a(a≤x≤3)

　
因?yàn)楹瘮?shù)g（x）在區(qū)間[a，3]上是增函數(shù)，在區(qū)間[1，a]上也是增函數(shù)，
所以g（x）在[1，3]上為增函數(shù)，
所以g（x）的最小值為g（1）=a．
所以，當(dāng)a≤1時(shí)，g（x）的最小值為2-a；
當(dāng)1＜a≤2

2

時(shí)，g（x）的最小值為a．

點(diǎn)評：此題是難題．考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，體現(xiàn)了分類討論和轉(zhuǎn)化的思想方法，考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力．