Question

已知函數(shù)f（x）=ae^2x+（a+1）x+1
（1）當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)a＜-1，若對(duì)?x₁，x₂∈R，有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|e^x₁-e^x₂|，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)正負(fù)可確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）對(duì)?x₁，x₂∈R，有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|e^x₁-e^x₂|，兩邊同除以|x₁-x₂|，等價(jià)于|f′（x）|≥4e^x，由此可求a的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=-e^2x+

1

2

令f′（x）＞0可得x＜-

1

2

ln2，令f′（x）＜0可得x＞-

1

2

ln2
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-

1

2

ln2），單調(diào)減區(qū)間為（-

1

2

ln2，+∞）；
（2）∵對(duì)?x₁，x₂∈R，有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|e^x₁-e^x₂|，
∴兩邊同除以|x₁-x₂|，可得|f′（x）|≥4e^x，
∴|2ae^2x+（a+1）|≥4e^x，
∵a＜-1
∴2ae^2x+4e^x+（a+1）≤0
令e^x=t（t＞0），則2at²+4t+（a+1）≤0
∵a＜-1，∴0＜-

1

a

＜1，a+1＜0
∴△=16-8a（a+1）≤0
∴（a+2）（a-1）≥0
∴a≥1或a≤-2．
∵a＜-1，
∴a≤-2

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)概念，考查恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．