Question

在棱長為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F(xiàn)為BD₁的中點，G在CD上，且CG=，H為C₁G的中點，求
（1）FH的長；
（2）直線FH與直線BD₁的夾角θ的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標系，分別表示出F，H的坐標，從而可求向量FH的模，進而可得FH的長．
（2）由（1）知，，從而可計算相應(yīng)的模與數(shù)量積，利用向量的數(shù)量積的坐標公式，可求所成角的余弦值．
解答：解：以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz．
則F（2，2，2），C（0，4，0），B₁（4，4，4），C₁（0，4，4），G（0，3，0）
（1）∵H為C₁G的中點
∴
∵F（2，2，2）
∴=
∴；
（2）由（1）知，，
∴，，
，
∴
故直線FH與直線BD₁的夾角θ的余弦值是．
點評：本題以正方體為載體，主要考查線線角的求解．解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標系，利用空間向量求解立體幾何問題．