Question

17．（1）利用關系式log_aN=b?a^b=N證明換底公式：
logaN=$\frac{{log}_{m}N}{{log}_{m}a}$；
（2）利用（1）中的換底公式求下式的值：
log₂25•log₃4•log₅9
（3）利用（1）中的換底公式證明：
log_ab•log_bc•log_ca=1．

Answer 1

分析 （1）設a^b=N，則$lo{g}_{m}{a}^$=log_mN，化為blog_ma=log_mN，又b=log_aN，即可證明；
（2）利用換底公式可得：log₂25•log₃4•log₅9=$\frac{2lg5}{lg2}$$•\frac{2lg2}{lg3}$•$\frac{2lg3}{lg5}$，即可得出；
（3）利用換底公式可得：log_ab•log_bc•log_ca=$\frac{lgb}{lga}•\frac{lgc}{lgb}•\frac{lga}{lgc}$，即可證明．

解答 （1）證明：設a^b=N，則$lo{g}_{m}{a}^$=log_mN，化為blog_ma=log_mN，又b=log_aN，∴l(xiāng)ogaN=$\frac{{log}_{m}N}{{log}_{m}a}$；
（2）解：log₂25•log₃4•log₅9=$\frac{2lg5}{lg2}$$•\frac{2lg2}{lg3}$•$\frac{2lg3}{lg5}$=8；
（3）證明：log_ab•log_bc•log_ca=$\frac{lgb}{lga}•\frac{lgc}{lgb}•\frac{lga}{lgc}$=1．
∴l(xiāng)og_ab•log_bc•log_ca=1．

點評 本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)、換底公式及其應用，考查了計算能力，屬于中檔題．