Question

 

如圖所示，在正三棱柱中，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，是棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證:平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離.

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

  解：(Ⅰ) 連結(jié)與交于，則為的中點(diǎn)，

為的中點(diǎn)，

為的中位線(xiàn)，

//. 又平面，平面，

//平面………    ……4分

（Ⅱ）過(guò)作于，由正三棱柱的性質(zhì)可知，

平面，連結(jié)，在正中，

在直角三角形中，

由三垂線(xiàn)定理的逆定理可得.則為二面角的平面角，又得，

，

∴.故所求二面角的大小為.………………8分

解法（2）（向量法）

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則

.

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則可得

，所以即取可得

又平面的一個(gè)法向量設(shè)則

又知二面角是銳角,所以二面角 的大小是………………………………………        ……………8分

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)到平面的距離；因，所以，故，而…………       ……10分

由………   …12分