Question

12．已知函數(shù)f（x）=lnx-x²與g（x）=（x-2）²-$\frac{1}{2x-4}$-m的圖象上存在關(guān)于（1，0）對稱的點，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1-ln2）
• B． （-∞，1-ln2]
• C． （1-ln2，+∞）
• D． [1-ln2，+∞）

Answer 1

分析 由已知可得：g（x）=（x-2）²-$\frac{1}{2x-4}$-m的圖象與函數(shù)y=-f（2-x）=-ln（2-x）+（2-x）²的圖象有交點，即m=ln（2-x）-$\frac{1}{2x-4}$有解，利用換元法和導(dǎo)數(shù)法，求出函數(shù)y=ln（2-x）-$\frac{1}{2x-4}$的值域，可得答案．

解答 解：由已知可得：g（x）=（x-2）²-$\frac{1}{2x-4}$-m的圖象
與函數(shù)y=-f（2-x）=-ln（2-x）+（2-x）²的圖象有交點，
即（x-2）²-$\frac{1}{2x-4}$-m=-ln（2-x）+（2-x）²有解，
即m=ln（2-x）-$\frac{1}{2x-4}$有解，
令t=2-x，y=ln（2-x）-$\frac{1}{2x-4}$=lnt+$\frac{1}{2t}$，
則y′=$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{2{t}^{2}}$=$\frac{2t-1}{2{t}^{2}}$，
當t∈（0，$\frac{1}{2}$）時，y′＜0，函數(shù)為減函數(shù)；
當t∈（$\frac{1}{2}$，+∞）時，y′＞0，函數(shù)為增函數(shù)；
故當t=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取最小值ln$\frac{1}{2}$+1=1-ln2，無最大值，
故m∈[1-ln2，+∞），
故選：D

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的對稱變換，函數(shù)圖象，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值和值域，難度中檔．