Question

已知函數f（x）=

x

ax+b

（a，b為常數，且a≠0），滿足f（2）=1，方程f（x）=x有唯一實數解，求函數f（x）的解析式和f[f（-4）]的值．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法,函數的值

專題：函數的性質及應用

分析：根據f（2）=1，方程f（x）=x有唯一解，求出a，b的值，從而求出函數的表達式，進而求出x=-4時的函數值．

解答： 解：∵f（x）=

x

ax+b

且f（2）=1，∴2=2a+b，
又∵方程f（x）=x有唯一實數解，
∴ax²+（b-1）x=0（a≠0）有唯一實數解，
故（b-1）²-4a×0=0，即b=1，又上式2a+b=2，
可得：a=

1

2

，從而f（x）=

x

1 2 x+1

=

2x

x+2

，
∴f（-4）=

2×(-4)

-4+2

=4，f（4）=

8

6

=

4

3

，
即f[f（-4）]=

4

3

．

點評：本題考查了求函數的解析式問題，考查了二次函數的性質，是一道中檔題．