Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²，（a，b∈R）在x=2時(shí)有極值，其圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線3x+y=0平行．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若x∈[1，4]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）在x=2時(shí)取得極值得f'（2）=2，由圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線3x+y=0平行得f'（1）=-3，聯(lián)立方程組可求得a，b；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）在[1，4]上的極值及區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較其大小，則最大者為最大值，最小者為最小值；

解答：（Ⅰ）∵f（x）=x²（ax+b）=ax³+bx²，
∴f'（x）=3ax²+2bx，
由已知可得：

f′(2)=0 f′(1)=-3

⇒

12a+4b=0 3a+2b=-3

，解得

a=1 b=-3

，
∴f（x）=x³-3x²；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x³-3x²，f'（x）=3x²-6x，
x∈[1，4]，令f'（x）=0，得x=2，

x	1	（1，2）	2	（2，4）	4
f′（x）		-	0	+
f（x）	-2	↘	極小值-4	↗	16

∴當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值是16，最小值是-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值，屬中檔題，掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．