Question

若m∈R，方程x³-3x+m=0在區(qū)間[0，1]上不等的實(shí)根（　�。�

• A、有3個(gè)
• B、有2個(gè)
• C、沒有
• D、至多有一個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將方程轉(zhuǎn)化為x³-3x=-m，構(gòu)造函數(shù)f（x）=x³-3x，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：由x³-3x+m=0得x³-3x=-m，
設(shè)f（x）=x³-3x，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-3，
由f′（x）＞0，解得x＞1或x＜-1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0，解得-1＜x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
則f（1）≤f（x）≤f（0），
即-2≤f（x）≤0，
若-m＞0或-m＜-2，即m＞2或m＜0時(shí)，方程x³-3x=-m無解，
若-2≤-m≤0，即0≤m≤2時(shí)，x³-3x=-m只有1個(gè)解，
綜上方程x³-3x+m=0在區(qū)間[0，1]上不等的實(shí)根至多有一個(gè)，
故選：D．

點(diǎn)評：本題主要考查三次方程根的求解，利用三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．