Question

2．（1）求和：S_n=$\sqrt{11-2}$+$\sqrt{1111-22}$+…+$\sqrt{\underset{\underbrace{11…11}}{2n個}-\underset{\underbrace{22…2}}{n個}}$；
（2）求和：S_n=1-3+5-7+9-11+…+（-1）^n-1（2n-1）；
（3）求和：1²+3²+5²+…+（2n+1）²．

Answer 1

分析 （1）通過變形、計算可知$\sqrt{\underset{\underbrace{11…11}}{2n個}-\underset{\underbrace{22…2}}{n個}}$=$\underset{\underbrace{33…3}}{n個}$，從而S_n=3n+30（n-1）+300（n-2）+…+$\underset{\underbrace{30…0}}{（n-1）個0}$×1、10S_n=30n+300（n-1）+3000（n-2）+…+$\underset{\underbrace{30…0}}{n個0}$×1，利用錯位相減法計算即得結論；
（2）當n為奇數(shù)時S_n=1+$\underset{\underbrace{2+2+…+2}}{\frac{n-1}{2}個2}$、當n為偶數(shù)時S_n=（1-3）+（5-7）+…+[（-1）^n-2（2n-3）+（-1）^n-1（2n-1）]，進而計算可得結論；
（3）通過計算出前幾項的和，利用歸納法出求和公式．

解答 解：（1）∵$\sqrt{\underset{\underbrace{11…11}}{2n個}-\underset{\underbrace{22…2}}{n個}}$=$\sqrt{\underset{\underbrace{11…1}}{n個}×1{0}^{n}+\underset{\underbrace{11…1}}{n個}-\underset{\underbrace{11…1}}{n個}×2}$
=$\sqrt{\underset{\underbrace{11…1}}{n個}×1{0}^{n}-\underset{\underbrace{11…1}}{n個}}$
=$\sqrt{\underset{\underbrace{11…1}}{n個}×（1{0}^{n}-1）}$
=$\sqrt{\underset{\underbrace{11…1}}{n個}×\underset{\underbrace{99…9}}{n個}}$
=$\underset{\underbrace{33…3}}{n個}$，
∴S_n=$\sqrt{11-2}$+$\sqrt{1111-22}$+…+$\sqrt{\underset{\underbrace{11…11}}{2n個}-\underset{\underbrace{22…2}}{n個}}$
=3+33+…+$\underset{\underbrace{33…3}}{n個}$
=3n+30（n-1）+300（n-2）+…+$\underset{\underbrace{30…0}}{（n-1）個0}$×1，
∴10S_n=30n+300（n-1）+3000（n-2）+…+$\underset{\underbrace{30…0}}{n個0}$×1，
錯位相減得：9S_n=-3n+30+300+3000+…+$\underset{\underbrace{30…0}}{（n-1）個0}$+$\underset{\underbrace{30…0}}{n個0}$×1，
∴S_n=$\frac{1}{3}$[10+100+…+$\underset{\underbrace{10…0}}{n個0}$-n]
=$\frac{1}{3}$（10+10²+10³+…+10ⁿ-n）
=$\frac{1}{3}$×[$\frac{10×（1-1{0}^{n}）}{1-10}$-n]
=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1{0}^{n+1}-10}{9}$-n）；
（2）分n為奇數(shù)項、偶數(shù)兩種情況討論：
①當n為奇數(shù)時，S_n=1-3+5-7+9-11+…+（-1）^n-1（2n-1）
=1+（-3+5）+（-7+9）+…+[（-1）^n-2（2n-3）+（-1）^n-1（2n-1）]
=1+$\underset{\underbrace{2+2+…+2}}{\frac{n-1}{2}個2}$
=1+$\frac{n-1}{2}$×2
=n；
②當n為偶數(shù)時，S_n=1-3+5-7+9-11+…+（-1）^n-1（2n-1）
=（1-3）+（5-7）+…+[（-1）^n-2（2n-3）+（-1）^n-1（2n-1）]
=-2×$\frac{n}{2}$
=-n；
由①②可知S_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，}&{n為奇數(shù)}\\{-n，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$；
（3）依題意，1²+3²=10=$\frac{1}{3}$•2•（4•2²-1），
1²+3²+5²=35=$\frac{1}{3}$•3•（4•3²-1），
1²+3²+5²+7²=$\frac{1}{3}$•4•（4•4²-1），
…
歸納：1²+3²+5²+…+（2n+1）²=$\frac{1}{3}$•（n+1）•[4•（n+1）²-1]．

點評 本題考查數(shù)列的求和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．