Question

 

設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，A是橢圓C上的一點(diǎn)，,坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AF₁的距離為.

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，過點(diǎn)Q的直線l 交 x 軸于點(diǎn)，交 y 軸于點(diǎn)M，若,求直線l 的斜率.

 

 

 

Answer 1

【答案】

 (Ⅰ)由題意知，，其中，

由于，則有,

所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為，   ………………………………………  2分

故AF₁所在的直線方程為，

所以坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AF₁的距離為   ………………………………  4分

又，所以，解得.

故所求橢圓C的方程為    …………………………………………  7分

(Ⅱ) 由題意知直線l 的斜率存在.

設(shè)直線l 的斜率為k , 直線l 的方程為，   ………………………  8分

則有M（0,k），

設(shè)，由于Q， F，M三點(diǎn)共線，且，

根據(jù)題意，得，

解得   …………………………………………………  10分

又點(diǎn)Q在橢圓上，

所以       …………………………  13分

解得.綜上，直線l 的斜率為.  …………………  14分