Question

20．已知橢圓C的兩個焦點分別為F₁（$-\sqrt{10}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{10}$，0），且橢圓C過點P（3，2）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）與直線OP平行的直線交橢圓C于A，B兩點，求證：直線PA，PB與y軸圍成一個等腰三角形．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，利用橢圓定義求得a，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）求出${k}_{OP}=\frac{2}{3}$，設(shè)與直線OP平行的直線方程為y=$\frac{2}{3}x+m$，聯(lián)立直線和橢圓方程，由根與系數(shù)關(guān)系求出A，B兩點橫坐標(biāo)的和與積，代入兩直線的斜率和得答案．

解答 （Ⅰ）解：由題意設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，
∵橢圓C的兩個焦點分別為F₁（$-\sqrt{10}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{10}$，0），且橢圓C過點P（3，2），
由橢圓定義可得2a=$\sqrt{（3+\sqrt{10}）^{2}+{2}^{2}}+\sqrt{（3-\sqrt{10}）^{2}+{2}^{2}}$=$2\sqrt{18}$，即a=$\sqrt{18}$，
∴b²=a²-c²=8，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$；
（Ⅱ）證明：∵${k}_{OP}=\frac{2}{3}$，
∴設(shè)與直線OP平行的直線方程為y=$\frac{2}{3}x+m$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，得8x²+12mx+9m²-72=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{3}{2}m$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{9{m}^{2}-72}{8}$．
設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，
∵${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{2-{y}_{1}}{3-{x}_{1}}+\frac{2-{y}_{2}}{3-{x}_{2}}$=$\frac{（2-\frac{2}{3}{x}_{1}-m）（3-{x}_{2}）+（2-\frac{2}{3}{x}_{2}-m）（3-{x}_{1}）}{（3-{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}$
=$\frac{（m-4）（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{4}{3}{x}_{1}{x}_{2}+12-6m}{（3-{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}$=$\frac{（m-4）（-\frac{3}{2}m）+\frac{4}{3}•\frac{9{m}^{2}-72}{8}+12-6m}{（3-{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}=0$．
∴直線PA，PB與y軸圍成一個等腰三角形．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線MA，MB與x軸圍成一個等腰三角形的證明，訓(xùn)練了根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力，是中檔題．