Question

16．傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線l過(guò)拋物線y²=ax（a＞0）的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于點(diǎn)A、B，l交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)C（B在A、C之間），若$|{BC}|=\frac{8}{3}$，則a=（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求得焦點(diǎn)即準(zhǔn)線方程．根據(jù)三角形的相似關(guān)系，求得2丨EF丨=丨CF丨，根據(jù)拋物線的定義，即可求得a的值．

解答 解：過(guò)A和D做AD⊥l，BG⊥l，垂足分別為D和G，準(zhǔn)線l交x軸于E，
由拋物線的焦點(diǎn)（$\frac{a}{4}$，0），準(zhǔn)線方程x=-$\frac{a}{4}$，
則丨EF丨=$\frac{a}{2}$，且丨BG丨=丨BF丨，
由∠AFx=$\frac{π}{3}$，則∠FCD=$\frac{π}{6}$，
sin∠FCD=$\frac{丨BG丨}{丨BC丨}$=$\frac{丨EF丨}{丨CF丨}$=$\frac{1}{2}$，
$|{BC}|=\frac{8}{3}$，則丨BG丨=$\frac{4}{3}$，
由2丨EF丨=丨CF丨，即2×$\frac{a}{2}$=丨BC丨+丨BF丨=$\frac{8}{3}$+$\frac{4}{3}$=4，
故a=4，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，相似三角形的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．