Question

17．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$的一個焦點是拋物線 y²=8x的焦點，且雙曲線C 的離心率為2，那么雙曲線C 的方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

Answer 1

分析 利用拋物線的標準方程y²=8x，可得焦點為（2，0）．進而得到c=2．再利用雙曲線的離心率的計算公式可得$\frac{c}{a}$=2得到a=1，再利用b²=c²-a²可得b²．進而得到雙曲線的方程．

解答 解：由拋物線y²=8x，可得其焦點為（2，0）．
由題意雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$的一個焦點是拋物線 y²=8x的焦點，∴c=2．
又雙曲線的離心率為2，∴$\frac{c}{a}$=2，得到a=1，∴b²=c²-a²=3．
∴雙曲線的方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
故答案為：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

點評 本題考查雙曲線的性質與方程，考查拋物線的性質，熟練掌握雙曲線拋物線的標準方程及其性質是解題的關鍵．