Question

已知函數(shù)f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）的圖象與直線x=1交于點(diǎn)P，若圖象在點(diǎn)P處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n，則log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂的值為（ ）
A．1-log₂₀₁₃2012
B．-1
C．-log₂₀₁₃2012
D．1

Answer 1

【答案】分析：先求點(diǎn)P（1，1），再求曲線在點(diǎn)P（1，1）處的切線方程，從而得出切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n，再求相應(yīng)的函數(shù)值．
解答：解：∵函數(shù)f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）的圖象與直線x=1交于點(diǎn)P，
∴P（1，1），
∵y=xⁿ⁺¹，∴y′=（n+1）xⁿ，當(dāng)x=1時，y′=n+1，即切線的斜率為：n+1，
故y=xⁿ⁺¹在（1，1）處的切線方程為y-1=（n+1）（x-1），
令y=0可得x=，
即該切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n=，
所以log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂
=log₂₀₁₃×××…×==-1，
故選B．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意利用對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)求出函數(shù)，屬中檔題．