Question

已知函數f（x）=x²-6x+4lnx．
（1）給出兩類直線：6x+y+m=0與3x-y+n=0，其中m，n為常數，判斷這兩類直線中是否存在y=f（x）的切線．若存在，求出相應的m或n的值；若不存在，說明理由．
（2）設定義在D上的函數y=h（x）在點P（x₀，h（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），當x≠x₀，若＞0在D內恒成立，則稱P為函數y=h（x）的“類對稱點”．試問y=f（x）是否存在“類對稱點”．若存在，請求出“類對稱點”的橫坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x²-6x+4lnx，∴x＞0，，
∵＞-6，故不存在6x+y+m=0這類直線的切線；
由，解得x=，4．
當時，，把點代入方程3x-y+n=0，解得n=；
當x=4時，f（4）=-8+4ln4，把點（4，-8+4ln4）代入方程3x-y+n=0，解得n=4ln4-20．
（2）設點P（x₀，f（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），則g（x）-=，
∴g（x）=+，
令φ（x）=f（x）-g（x）=x²-6x+4lnx--，
則φ（x₀）=0．
φ^′（x）==，
當時，φ（x）在上φ^′（x）＜0，∴φ（x）在此區(qū)間上單調遞減，
∴時，φ（x）＜φ（x₀）=0．
從而時，．
當時，φ（x）在上φ^′（x）＜0，∴φ（x）在此區(qū)間上單調遞減，
∴時，φ（x）＞φ（x₀）=0．
從而時，．
∴在不存在“類對稱點”．
當時，
，∴φ（x）在（0，+∞）上是增函數，故．
因此x=是一個“類對稱點”的橫坐標．
分析：（1）利用導數的幾何意義即可判斷出曲線的切線的斜率的取值范圍，進而即可得出答案；
（2）利用“類對稱點”的定義及導數即可得出答案．
點評：正確理解導數的幾何意義、“類對稱點”的意義及熟練掌握利用導數研究函數的單調性是解題的關鍵．