Question

19．已知點A（3，4）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，則當橢圓的中心到直線x=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}$的距離最小時，橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 把點的坐標代入橢圓方程，用a表示b，代入$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}$，平方后換元，利用基本不等式求最值，得到等號成立的條件，求出a²，進一步得到c²，則橢圓的離心率可求．

解答 解：∵點A（3，4）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，
∴$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{16}{^{2}}=1$，
則$\frac{16}{^{2}}=1-\frac{9}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-9}{{a}^{2}}$，即$^{2}=\frac{16{a}^{2}}{{a}^{2}-9}$．
∴${a}^{2}-^{2}={a}^{2}-\frac{16{a}^{2}}{{a}^{2}-9}=\frac{{a}^{4}-25{a}^{2}}{{a}^{2}-9}$．
則橢圓的中心到直線x=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}$的距離為d=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}$．
則$tlpbpbx^{2}=\frac{{a}^{4}}{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{{a}^{4}}{\frac{{a}^{4}-25{a}^{2}}{{a}^{2}-9}}$=$\frac{{a}^{2}（{a}^{2}-9）}{{a}^{2}-25}$．
令a²=t（t＞25）．
∴$jdp7x7b^{2}=\frac{t（t-9）}{t-25}=\frac{（t-25）^{2}+41（t-25）+400}{t-25}$=$（t-25）+\frac{400}{t-25}+41$$≥2\sqrt{（t-25）•\frac{400}{t-25}}+41$．
當且僅當t-25=$\frac{400}{t-25}$，即t=45時上式取等號，
∴a²=45，則b²=20，c²=a²-b²=25．
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{25}{45}=\frac{5}{9}$．
∴e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{3}$

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，訓練了利用換元法和基本不等式求函數(shù)的最值，考查計算能力，是中檔題．