Question

10．設函數(shù)y=f（x）在（a，b）上的導函數(shù)為f′（x），f′（x）在（a，b）上的導函數(shù)為f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＞0恒成立，則稱函數(shù)y=f（x）在（a，b）上為“凹函數(shù)”，若函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{6}$x³+x²-aex+2在R上是“凹函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 利用導數(shù)的運算法則可得f′（x），f″（x）．由于函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凹函數(shù)”，可得：在區(qū)間（a，b）上f″（x）＞0恒成立，解得即可．

解答 解：f′（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x-ae，f″（x）=-x+2，
∵函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{6}$x³+x²-aex+2在R上是“凹函數(shù)”，
∴在（a，b）上，f″（x）＞0恒成立，
∴-x+2＞0，
即x＜2，
∴a≤2．

點評 本題考查了“凹函數(shù)”的定義及其性質、導數(shù)的運算法則、恒成立問題的等價轉化，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．