Question

18．設(shè)P為曲線C：y=$\sqrt{x}$和直線y=m（m＞0）的交點(diǎn)，l₁是曲線C在P點(diǎn)處的切線．
（1）求直線y=m關(guān)于l₁的對(duì)稱直線l₂的方程；
（2）判斷直線l₂是否通過(guò)一個(gè)與m無(wú)關(guān)的定點(diǎn)，若通過(guò)，求此定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不通過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求得P的坐標(biāo)，求出y=$\sqrt{x}$的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，以及切線方程，在直線y=m上取一點(diǎn)（0，m），關(guān)于直線l₁的對(duì)稱點(diǎn)為（a，b），運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件，解方程可得a，b，進(jìn)而得到直線l₂的方程；
（2）由直線l₂的方程，可令x=$\frac{1}{4}$，可得y=0，即可判斷直線l₂通過(guò)一個(gè)與m無(wú)關(guān)的定點(diǎn)．

解答 解：（1）P為曲線C：y=$\sqrt{x}$和直線y=m（m＞0）的交點(diǎn)，
即有P（m²，m），
y=$\sqrt{x}$的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{\sqrt{x}}$，
曲線C在P點(diǎn)處的切線斜率為k=$\frac{1}{2m}$，
即有曲線C在P點(diǎn)處的切線方程為l₁：y-m=$\frac{1}{2m}$（x-m²），
即為x-2my+m²=0，
在直線y=m上取一點(diǎn)（0，m），關(guān)于直線l₁的對(duì)稱點(diǎn)為（a，b），
即有$\frac{b-m}{a}$=-2m，$\frac{a}{2}$-m（m+b）+m²=0，
解得a=$\frac{2{m}^{2}}{1+4{m}^{2}}$，b=$\frac{m}{1+4{m}^{2}}$．
即有l(wèi)₂的斜率為$\frac{\frac{m}{1+4{m}^{2}}-m}{\frac{2{m}^{2}}{1+4{m}^{2}}-{m}^{2}}$=$\frac{4m}{4{m}^{2}-1}$，
則l₂：y-m=$\frac{4m}{4{m}^{2}-1}$（x-m²），
即有對(duì)稱直線l₂的方程為y=$\frac{4m}{4{m}^{2}-1}$x-$\frac{m}{4{m}^{2}-1}$；
（2）由直線l₂的方程為y=$\frac{4m}{4{m}^{2}-1}$x-$\frac{m}{4{m}^{2}-1}$；
可令x=$\frac{1}{4}$，可得y=$\frac{4m}{4{m}^{2}-1}$•$\frac{1}{4}$-$\frac{m}{4{m}^{2}-1}$=0，
故直線l₂通過(guò)一個(gè)與m無(wú)關(guān)的定點(diǎn)，此定點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{1}{4}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線和直線的對(duì)稱問(wèn)題，同時(shí)考查直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題和易錯(cuò)題．