Question

已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，離心率為且過(guò)點(diǎn)（4，-）.?

（1）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線(xiàn)x=3與雙曲線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn)，求證：F₁M⊥F₂M.?

Answer 1

思路分析：由離心率得出a與b相等，再用待定系數(shù)法求方程.第（2）問(wèn)可考慮斜率公式的運(yùn)用.

（1）解：由雙曲線(xiàn)的離心率為，即=,則=2,?

∴a=b,即雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn).可設(shè)其方程為x²-y²=λ（λ≠0）.?

由于雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（4，-），

則4²-（-）²=λ.?

∴λ=6.∴雙曲線(xiàn)方程為=1.

?（2）證明：由（1）可得F₁、F₂的坐標(biāo)分別為（-2，0）、（2，0），M、N的坐標(biāo)分別為（3，）、（3，-）.?

∴k=,k=.

故k·k=·=-1.?

∴F₁M⊥F₂M.

溫馨提示

（1）離心率給定的問(wèn)題應(yīng)先研究a、b的關(guān)系，簡(jiǎn)化方程的字母?jìng)�(gè)數(shù)；從離心率為2可看出它是等軸雙曲線(xiàn)的隱含條件.

（2）λ≠0時(shí)，方程x²-y²=λ,即可表示焦點(diǎn)在x軸上也可表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn).