Question

有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線海岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到海岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在何處才能使水管費(fèi)用最省？

Answer 1

分析:本題考查復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.適當(dāng)選定變元,借助圖象尋找各條件間的聯(lián)系,構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,建立數(shù)學(xué)模型,通過求導(dǎo)和其他方法求出最值.

解法一:根據(jù)題意，只有點(diǎn)C在線段AD上某一適當(dāng)位置，才能使總的水管費(fèi)用最省，設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)x km，則AC=（50-x） km

又∵BD=40 km,

∴BC=,又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元，依題意，則

y=3a(50-x)+5a(0<x<50).

y′=-3a+,

令y′=0,解得x=30.在(0,50)上，y只有一個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際問題的意義，函數(shù)在x=30(km)處取得最小值，此時(shí)AC=50-x=20(km).

∴供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費(fèi)用最省.

解法二：設(shè)∠BCD=θ,則BC=,CD=40cotθ(0<θ<),

∴AC=50-40cotθ.

設(shè)總的水管費(fèi)用為f(θ),依題意，有

f(θ)=3a(50-40·cotθ)+5a·=150a+40a·,

∴f′(θ)=40a·

=40a·

令f′(θ)=0,得cosθ=.

∵0<θ<,

∴0＜θ<1,cosθ在(0,1)上只有一個(gè)極值點(diǎn).

根據(jù)問題的實(shí)際意義，當(dāng)cosθ=時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)sinθ=,

∴cotθ=.

∴AC=50-40·cotθ=20(km),

即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費(fèi)用最省.

點(diǎn)評:解決實(shí)際問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和建立數(shù)學(xué)模型，把“問題情境”譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)問題，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里尋找適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q，再返回到實(shí)際問題中加以說明.同時(shí)注意與實(shí)際問題有關(guān)的函數(shù)的定義域,除了使解析式有意義外,還要注意到它的實(shí)際意義.