Question

3．點P是△ABC所在的平面外一點P，連結PA、PB、PC，且有PB=PC=$\sqrt{5}$，AB=AC=2$\sqrt{2}$，∠BAC=90°，G為△PAB的重心．
（1）試判斷直線BG與AC的位置關系，并說明理由；
（2）記H為AB中點，當PA=$\sqrt{5}$時，求直線HG與平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)異面直線判定定理，可得直線BG與AC異面；
（2）以O原坐標原點，建立空間坐標系，求出直線HG的方向向量和平面PAC的法向量，代入向量夾角公式，可得直線HG與平面PAC所成角的正弦值．

解答 解：（1）直線BG與AC異面，理由如下：
延長BG交PA于D，如下圖所示：

由PA?平面PAC，可得D∈平面PAC，
即BG∩平面PAC=D，
又由AC?平面PAC，D∉AC，
可得：直線BG與AC異面；
（2）如圖所示，取BC的中點O，連接OA，OP，
∵PB=PC，
∴OP⊥BC．
∵AB=AC=2$\sqrt{2}$，∠BAC=90°，PB=PC=$\sqrt{5}$，
∴BC=4，OA=OB=OC=$\frac{1}{2}BC$=2，OP=$\sqrt{P{B}^{2}{-OB}^{2}}$=1，
又由PA=$\sqrt{5}$，可得：OA²+OP²=PA²，即OP⊥OA，
∵OA∩BC=O，OA，BC?平面ABC，
∴OP⊥平面ABC，
∴OA，OB，OP兩兩互相垂直
以O原坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則B（2，0，0），A（0，2，0），C（-2，0，0），P（0，0，1），H（1，1，0），
∵G為△PAB的重心，
∴G（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），
∴$\overrightarrow{HG}$=（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（-2，-2，0），$\overrightarrow{PA}$=（0，2，-1），
設平面PAC的一個法向量是$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則由：
$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}=0\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}-2x-2y=0\\ 2y-z=0\end{array}\right.$，
令x=-1，則$\overrightarrow{m}$=（-1，1，2），
記直線HG與平面PAC所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{HG}|}{\left|\overrightarrow{m}\right|•\left|\overrightarrow{HG}\right|}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
故直線HG與平面PAC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題主要考查了直線與平面之間所成角，異面直線的判定，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題