Question

已知曲線C₁：y=x²與C₂:y=-(x-2)²,若直線l與C₁、C₂都相切,求l的方程.

Answer 1

分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用.要求具有某種性質(zhì)的切線,只需求出對應(yīng)的x₀即可,一般要求出x₀所需滿足的方程或方程組,解之即可.

解：設(shè)直線l與C₁相切于點(x₁,x₁²),

∵y=x²,∴y′=2x.

∴=2x₁.    

∴l：y-x₁²=2x1(x-x₁),即y=2x₁x-x₁².     

設(shè)直線l與C₂相切于點(x₂,-(x₂-2)²),

∵y=-(x-2)²,

∴y′=-2(x-2).

∴=-2(x₂-2).                  

∴l：y+(x₂-2)²=-2(x₂-2)(x-x₂),

即y=-2(x₂-2)x+x₂²-4.                 

比較l的兩個方程,應(yīng)有

將x₁=2-x₂代入第二個方程,得-(2-x₂)²=x₂²-4,

解得x₂=0或x₂=2,于是x₁=2或x₁=0.   

當x₁=2,x₂=0時,直線l經(jīng)過兩點(2,4)、(0,-4),

∴直線l的方程為y=4x-4;

當x₁=0,x₂=2時,直線l經(jīng)過(0,0)、(2,0)兩點.

∴直線l的方程為y=0.