Question

19．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2^x}，x≤0\\ 2sin（2x+\frac{π}{6}），0＜x＜π\(zhòng)end{array}$若x₁，x₂，x₃是方程f（x）+a=0三個不同的根，則x₁+x₂+x₃的范圍是（　�。�

• A． $（-1，\frac{π}{2}）$
• B． $（\frac{π}{3}-1，\frac{π}{3}）$
• C． $（\frac{π}{3}-1，\frac{π}{3}+1）$
• D． $（\frac{π}{6}，\frac{π}{6}+1）$

Answer 1

分析 作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2^x}，x≤0\\ 2sin（2x+\frac{π}{6}），0＜x＜π\(zhòng)end{array}$的圖象，從而可得-2＜a＜-1，從而結(jié)合圖象解得．

解答 解：作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2^x}，x≤0\\ 2sin（2x+\frac{π}{6}），0＜x＜π\(zhòng)end{array}$的圖象如下，
∵x₁，x₂，x₃是方程f（x）+a=0三個不同的根，
∴方程f（x）=-a有三個不同的根，
∴1＜-a＜2，∴-2＜a＜-1；
不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃，
∵sin（2x+$\frac{π}{6}$）=1，∴x=$\frac{π}{6}$；
結(jié)合圖象可知，
x₂+x₃=$\frac{π}{6}$×2=$\frac{π}{3}$；
∵1＜2^-x＜2，
∴-1＜x＜0，
∴-1＜x₁＜0，
∴x₁+x₂+x₃∈$（\frac{π}{3}-1，\frac{π}{3}）$．
故選：B．

點評 本題考查了方程的根與函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．