Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²-3x+lnx，f′（x）=2x-3+

1

x

．         
因?yàn)閒′（1）=0，f（1）=-2，所以切線方程為 y=-2．                                     
（2）函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定義域?yàn)椋?，+∞）．
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=2ax-（a+2）+

1

x

=

2ax2-(a+2)x+1

x

（x＞0），
令f′（x）=0，即f′（x）=

2ax2-(a+2)x+1

x

=

(2x-1)(ax-1)

x

=0，
所以x=

1

2

或x=

1

a

．          
①a＞2時(shí)，令f′（x）＞0，可得x＞

1

2

或0＜x＜

1

a

；令f′（x）＜0，可得

1

a

＜x＜

1

2

；
②a=2時(shí)，f′（x）≥0恒成立；
③0＜a＜2時(shí)，令f′（x）＞0，可得x＞

1

a

或0＜x＜

1

2

；令f′（x）＜0，可得

1

2

＜x＜

1

a

；
④a≤0時(shí)，令f′（x）＞0，可得0＜x＜

1

2

；令f′（x）＜0，可得x＞

1

2

；
∴a＞2時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（0，

1

2

），（0，

1

a

）；單調(diào)減區(qū)間為（

1

a

，

1

2

）；a=2時(shí)，f（x）在（0，+∞上單調(diào)遞增；0＜a＜2時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（

1

a

，+∞），（0，

1

2

）；單調(diào)減區(qū)間是（

1

2

，

1

a

）；a≤0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（0，

1

2

）；單調(diào)減區(qū)間是（

1

2

，+∞）．