Question

【題目】已知點(diǎn)A，B是拋物線上關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)E是拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn).

（1）若是面積為4的直角三角形，求拋物線C的方程；

（2）若直線BE與拋物線C交于另一點(diǎn)D，證明：直線AD過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可以得到三點(diǎn)在以焦點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，故點(diǎn)，,,再根據(jù)三角形面積，即可求出。

（2）設(shè),所在直線方程和拋物線方程，通過韋達(dá)定理，得到斜率的表達(dá)式，進(jìn)而得到所在直線的表達(dá)式，通過化簡整理，即可證明。

解：（1）由題意，是等腰直角三角形，且

不妨設(shè)點(diǎn)A位于第一象限，則直線EA的方程為，

聯(lián)立方程，，解得

所以點(diǎn)，，

，解得，

故拋物線C的方程為

（2）（方法一）設(shè)，，則直線EB的方程為

聯(lián)立方程，，消去，

得關(guān)于的方程

該方程有一個(gè)根，兩根之積為，

則另一個(gè)根為，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為

直線AD的斜率為

所以AD的方程為

化簡得

所以直線AD過定點(diǎn)

（方法二）設(shè)，，，直線BE的方程為，

聯(lián)立方程，，消去x，

得關(guān)于x的方程，所以

則

直線AD的方程為

化簡得

所以直線AD過定點(diǎn)