Question

設(shè)圓過雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1的一個頂點和一個焦點，圓心在雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是

2

6

．

Answer 1

分析：由雙曲線的幾何性質(zhì)易知圓C過雙曲線同一支上的頂點和焦點，可得圓心的橫坐標(biāo)為±3，故圓心坐標(biāo)為（±3，±

15

），由此可求出它到雙曲線中心的距離．

解答：解：由雙曲線的幾何性質(zhì)易知圓C過雙曲線同一支上
的頂點和焦點，如圖所示：
設(shè)頂點為A、A′、焦點為F、F′．
故圓心為線段AF的垂直平分線與雙曲線的交點，
或者為線段A′F′的垂直平分線與雙曲線的交點．
由雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1可得，
a=2，b=2

3

，c=

a2+b2

=4，
故A（2，0）、F（4，0）、A′（-2，0）、F′（4，0），
所以，圓C的圓心的橫坐標(biāo)為±3．
再把x=±3代入雙曲線方程可得y=±

15

，
故圓心坐標(biāo)為（3，±

15

），C（-3，±

15

），
故圓心到雙曲線中心的距離是

32+(± 15 )2

=2

6

，
故答案為 2

6

．

點評：本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時注意圓的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．