Question

如下圖，M是拋物線y²=x上的一個(gè)定點(diǎn)，弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，且MA=MB.證明直線EF的斜率為定值.

Answer 1

思路點(diǎn)撥：本題要證明直線EF的斜率為定值，不難想到這個(gè)定值與定點(diǎn)M有關(guān)，因此在解決過程中，不難想到先假設(shè)定點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而結(jié)合已知條件將其斜率表示出來(lái)得到結(jié)果.

解：設(shè)M(y₀²,y₀)，直線ME的斜率為k(k＞0)，則直線MF的斜率為-k，方程為y-y₀=k(x-y₀²).

由消x得ky²-y+y₀(1-ky₀)=0，解得y_E=

∴x_E=,同理可求得y_F=,x_F=,

 

∴k_EF=(定值)，所以直線EF的斜率為定值.

［一通百通］ 對(duì)于有關(guān)拋物線與直線的交點(diǎn)問題，處理的方法通常是聯(lián)立直線方程與拋物線方程消去其中一個(gè)未知數(shù)，但對(duì)于具體問題來(lái)說(shuō)，通常要因問題而定，如果相應(yīng)的交點(diǎn)坐標(biāo)不難解出，這時(shí)可以考慮具體找到交點(diǎn)坐標(biāo)從而將問題解決.