Question

10．已知拋物線C的方程為y²=2px（p＞0），一條長(zhǎng)度為4p的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B在拋物線C上運(yùn)動(dòng)，則線段AB的中點(diǎn)D到y(tǒng)軸距離的最小值為  （　�。�

• A． 2p
• B． $\frac{5}{2}p$
• C． $\frac{3}{2}p$
• D． 3p

Answer 1

分析 l：x=-$\frac{p}{2}$，分別過(guò)A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分別為C，D，H，要求M到y(tǒng)軸的最小距離，只要先由拋物線的定義求M到拋物線的準(zhǔn)線的最小距離d，然后用d-$\frac{p}{2}$即可求解．

解答 解：由題意可得拋物線的準(zhǔn)線l：x=-$\frac{p}{2}$
分別過(guò)A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分別為C，D，H
在直角梯形ABDC中，MH=$\frac{AC+BD}{2}$，
由拋物線的定義可知AC=AF，BD=BF（F為拋物線的焦點(diǎn)）
MH=$\frac{AF+BF}{2}$≥$\frac{AB}{2}$=2p
即AB的中點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線的最小距離為2p，
∴線段AB的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離為$\frac{1}{2}（4p-p）$=$\frac{3p}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意拋物線性質(zhì)的合理運(yùn)用．