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在數(shù)列{an}中，a1=a2=1，當(dāng)n∈N*時(shí)，滿足an+2=an+1+an，且設(shè)bn=a4n，求證：{bn}各項(xiàng)均為3的倍數(shù).

分析：由于要證的是與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可用數(shù)學(xué)歸納法證之，這里要注意數(shù)列{an}是由遞推關(guān)系給出的.

證明：（1）∵a1=a2=1，故a3=a1+a2=2，a4=a3+a2=3，

∴b1=a4=3，即當(dāng)n=1時(shí)，b1能被3整除.

（2）假設(shè)n=k時(shí)，即bk=a4k是3的倍數(shù).

則n=k+1時(shí)，

bk+1=a4（k+1）=a（4k+4）=a4k+3+a4k+2

=a4k+2+a4k+1+a4k+1+a4k

=3a4k+1+2a4k.

由歸納假設(shè)，a4k是3的倍數(shù)，故可知bk+1是3的倍數(shù).

∴n=k+1時(shí)命題正確.

綜合（1）（2），可知對(duì)任意正整數(shù)n，數(shù)列{bn}的各項(xiàng)都是3的倍數(shù).


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=
2-21-n
2-21-n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a 1=
1
3
，并且對(duì)任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{
an
n
}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，證明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a=
12
，前n項(xiàng)和Sn=n2an，求an+1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中,a1=a,前n項(xiàng)和Sn構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,________________.

(先在橫線上填上一個(gè)結(jié)論,然后再解答)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年廣東省汕尾市陸豐市碣石中學(xué)高三（上）第四次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

在數(shù)列{an}中，a，并且對(duì)任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，證明：．

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