Question

14．在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分線，△AMC的外接圓交BC于點N．若2AB=AC，AM=$\sqrt{2}$，求BN的長．

Answer 1

分析 由角平分線的性質(zhì)可得$\frac{AC}{BC}=\frac{AM}{BM}$，再由條件推出$\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}•\frac{AM}{BM}$．由割線長定理知BM•BA=BN•BC，即$\frac{BA}{BC}=\frac{BN}{BM}$，從而可得結(jié)論．

解答 解：因為CM是∠ACB的平分線，所以$\frac{AC}{BC}=\frac{AM}{BM}$，
又已知2AB=AC，所以$\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}•\frac{AM}{BM}$．
設△AMC的外接圓為圓D，則MA與NC是圓D過同一點B的兩條弦，
所以，由割線長定理知BM•BA=BN•BC，即$\frac{BA}{BC}=\frac{BN}{BM}$，所以BN=$\frac{1}{2}$AM，
因為AM=$\sqrt{2}$，所以BN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查角平分線的性質(zhì)，圓的切割線定理的應用，屬于中檔題．