Question

4．若x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-3≥0}\\{3x-y-5≤0}\end{array}\right.$，求：
（1）z=2x+y的最小值；   
（2）z=x²+y²的范圍．
（3）z=$\frac{y+x}{x}$的最大值．

Answer 1

分析 先根據(jù)約束條件畫出可行域，再分別利用幾何意義求最值．

解答 解：作出滿足已知條件的可行域?yàn)椤鰽BC內(nèi)（及邊界）區(qū)域，如圖
其中A（1，2），B（2，1），C（3，4）．
（1）目標(biāo)函數(shù)z=2x+y，表示直線l：y=-2x+z，z表示該直線縱截距，當(dāng)l過點(diǎn)A（1，2）時(shí)縱截距有最小值，故z_min=4．
（2）目標(biāo)函數(shù)z=x²+y²表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)系點(diǎn)的距離的平方，又原點(diǎn)O到AB的距離d=$\frac{|3|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$且垂足是D（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）在線段AB上，故OD²≤z≤OC²，即z∈[$\frac{9}{2}$，25]；
（3）目標(biāo)函數(shù)z=$\frac{y+x}{x}$=1+$\frac{y}{x}$，則$\frac{y}{x}$表示區(qū)域中的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，斜率最大，即$（\frac{y}{x}）_{max}$=2，即z_max=3．

點(diǎn)評 本題考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．