Question

如圖,圓x²+y²=4與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B.

以A、B為焦點(diǎn),坐標(biāo)軸為對稱軸的雙曲線與圓在y軸左方的交點(diǎn)分別為C、D.當(dāng)梯形ABCD的周長最大時(shí),求此雙曲線的方程.

Answer 1

解析:設(shè)雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0),C(x₀,y₀)(x₀<0,y₀>0),|BC|=t(0).

連結(jié)AC,則∠ACB=90°.

作CE⊥AB于E,則有|BC|²=|BE|·|AB|,

∴t²=(2-y₀)×4,即y₀=2-.

∴梯形ABCD的周長l=4+2t+2y₀.

即l=-t²+2t+8=-(t-2)²+10.

當(dāng)t=2時(shí),l最大.

此時(shí)|BC|=2,|AC|=2.

又C在雙曲線的上支上,且B、A分別為上、下兩焦點(diǎn),

∴|AC|-|BC|=2a,即2a=2-2.

∴a=3-1,即a²=4-2.

∴b²=c²-a²=2.

∴所求雙曲線方程為-=1.