Question

已知f（x）=

x+ 1 2 ，0≤x≤ 1 2 2(1-x)， 1 2 ＜x≤1

，則方程f[f（x）]=x的解集為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式，分別對(duì)x進(jìn)行分段討論，即可求解．

解答：解：若0≤x≤

1

2

，
則f（x）=x+

1

2

，
∴f（x）=x+

1

2

∈[

1

2

，1]，
∴f[f（x）]=x等價(jià)為f[（x+

1

2

）]=2（1-x-

1

2

）=2-2x-1=x，
∴3x=1，即x=

1

3

．
若

1

2

＜x≤1，
則f（x）=2（1-x）=2-2x∈[0，1），
①當(dāng)

1

2

＜x≤

3

4

時(shí)，f（x）=2（1-x）=2-2x∈[

1

2

，1），
∴f[f（x）]=x等價(jià)為f[（2-2x）]=2（1-2+2x）=4x-2=x，
即x=

2

3

，滿足條件．
②當(dāng)

3

4

＜x≤1時(shí)，f（x）=2（1-x）=2-2x∈[0，

1

2

），
∴f[f（x）]=x等價(jià)為f[（2-2x）]=2-2x+

1

2

=

5

2

-2x=x，
即x=

5

6

，滿足條件．
綜上方程f[f（x）]=x的解集為{

1

3

，

2

3

，

5

6

}，
故答案為：{

1

3

，

2

3

，

5

6

}．

點(diǎn)評(píng)：本題只要考查復(fù)合函數(shù)的綜合應(yīng)用，要對(duì)變量進(jìn)行分類討論，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量較大．