Question

9．設(shè)x+y²=${∫}_{0}^{y-x}$cos²tdt，求$\frac{dy}{dx}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)定積分運(yùn)算法則，化簡得到x+y²=$\frac{1}{2}$（y-x）+$\frac{1}{4}$sin2（y-x），利用隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：設(shè)x+y²=${∫}_{0}^{y-x}$cos²tdt=${∫}_{0}^{y-x}$$\frac{1}{2}$（1+cos2t）dt=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{1}{2}$sin2t）|${\;}_{0}^{y-x}$=$\frac{1}{2}$（y-x+$\frac{1}{2}$sin（2y-2x））=$\frac{1}{2}$y-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$sin（2y-2x），
∴x+y²=$\frac{1}{2}$（y-x）+$\frac{1}{4}$sin2（y-x），
∴d（x+y²）=$\frac{1}{2}$d（y-x）+$\frac{1}{4}$dsin（2y-2x），
∴dx+2dy=$\frac{1}{2}$dy-$\frac{1}{2}$dx+$\frac{1}{4}$×2cos（2y-2x）d（y-x），
∴dx+2dy=$\frac{1}{2}$dy-$\frac{1}{2}$dx+$\frac{1}{2}$cos（2y-2x）（dy-dx），
∴$\frac{dy}{dx}$=$\frac{3+cos（2y-2x）}{cos（2y-2x）+1-4y}$．

點(diǎn)評 本題考查了定積分的計(jì)算和隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題．