Question

【題目】橢圓（）的左、右焦點分別為，，過作垂直于軸的直線與橢圓在第一象限交于點，若，且.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知點關(guān)于軸的對稱點在拋物線上，是否存在直線與橢圓交于，使得的中點落在直線上，并且與拋物線相切，若直線存在，求出的方程，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意得到進而求得橢圓方程；（2）設(shè)直線與橢圓的交點坐標(biāo)為滿足橢圓方程兩式作差可得，中點落在直線上得，再聯(lián)立直線l和拋物線，得到二次方程，在判斷判別式的正負(fù)即可.

解析：

（Ⅰ）解：由題意可知解得橢圓方程是.

(Ⅱ)由（Ⅰ）可知則有代入可得拋物線方程是

若直線斜率存在，設(shè)直線與橢圓的交點坐標(biāo)為滿足橢圓方程兩式作差可得，的中點落在直線上則有

代入可得，

直線方程可以設(shè)為與拋物線方程聯(lián)立消元可得方程，

直線與拋物線相切則有，則直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立：消元可得方程，

，所以直線滿足題意.

若直線斜率不存在時，直線滿足題意.

所以，綜上這樣的直線存在，方程是或.