Question

1．已知a＞0關于x的二項式（$\sqrt{x}$+$\frac{a}{\root{3}{x}}$）ⁿ展開式的二項式系數(shù)之和為32，常數(shù)項為80，則展開式的各項系數(shù)和=243．

Answer 1

分析 根據題意，有2ⁿ=32，可得n=5，進而可得其展開式為T_r+1=C₅^r•（$\sqrt{x}$）^5-r•（$\frac{a}{\root{3}{x}}$）^r，分析可得其常數(shù)項為第4項，即C₅³•（a）³，依題意，可得C₅³•（a）³=80，解可得a的值，再令x=1，即可得到所求值．

解答 解：根據題意，該二項式的展開式的二項式系數(shù)之和為32，
則有2ⁿ=32，
可得n=5，
則二項式的展開式為T_r+1=C₅^r•（$\sqrt{x}$）^5-r•（$\frac{a}{\root{3}{x}}$）^r，
其常數(shù)項為第4項，即C₅³•（a）³，
根據題意，有C₅³•（a）³=80，
解可得，a=2，
再令x=1時，
則展開式的各項系數(shù)和為3⁵=243．
故答案為：243．

點評 本題考查二項式定理的應用，注意二項式的展開式通項公式的運用，以及二項式系數(shù)和各項系數(shù)的關系，屬于中檔題．