Question

已知拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)M（1，m）（m＞0）到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)AM平行，則正實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．

Answer 1

分析：先利用拋物線(xiàn)定義，計(jì)算拋物線(xiàn)方程和m的值，在求出雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程，最后利用兩直線(xiàn)平行的充要條件列方程即可解得a的值
解答：利用拋物線(xiàn)的定義，點(diǎn)M（1，m）到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)x=-的距離，即1+=5，解得p=8
∴拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=16x，令x=1，得m=4，即M（1，4）
∵雙曲線(xiàn)，的左頂點(diǎn)為A（-a，0），漸近線(xiàn)方程為y=±x
依題意，AM的斜率為k=＞0，
∴=
解得正實(shí)數(shù)a的值為
故答案為
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線(xiàn)的定義，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，屬基礎(chǔ)題