Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB= 90°， AD∥BC，AD⊥側(cè)面PAB，△PAB是等邊三角形，DA=AB=2，BC=AD，E是線段AB的中點(diǎn)，
(Ⅰ)求證：PE⊥CD；
(Ⅱ)求四棱錐P-ABCD的體積；
(Ⅲ)求PC與平面PDE所成角的正弦值。

Answer 1

(Ⅰ)證明：因?yàn)锳D⊥側(cè)面PAB，PE平面PAB， 所以AD⊥PE， 又因?yàn)椤鱌AB是等邊三角形，E是線段AB的巾點(diǎn)， 所以PE⊥AB， 因?yàn)锳D∩AB=A， 所以PE⊥平面ABCD，而CD平面ABCD， 所以PE⊥CD。 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知：PE⊥平面ABCD， 所以PE是四棱錐P-ABCD的高， 由DA=AB=2，BC=AD，可得BC=1， 因?yàn)椤鱌AB是等邊三角形， 可求得， 所以，。
(Ⅲ)解：以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz， 則， ， 設(shè)為平面PDE的法向量， 由，即， 令x=1，可得， 設(shè)PC與平面PDE所成的角為θ， ， 所以，PC與平面PDE所成的角的正弦值為。