Question

18．已知數(shù)列{a_n}通項(xiàng)a_n=10ⁿ（n∈N^*），${b_n}=\frac{1}{{lg{a_n}•lg{a_{n+2}}}}$，則數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為（　�。�

• A． $1-\frac{1}{n+2}$
• B． $1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$
• C． $\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
• D． $2（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$

Answer 1

分析 通過數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式及對數(shù)運(yùn)算法則，裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}通項(xiàng)a_n=10ⁿ（n∈N^*），${b_n}=\frac{1}{{lg{a_n}•lg{a_{n+2}}}}$，
∴b_n=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，利用裂項(xiàng)相消法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．