Question

已知：等差數(shù)列{a_n}的公差和等比數(shù)列{b_n}的公比都是d，（d≠1）且a₁=b₁，a₄=b₄，a₁₀=b₁₀；
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n和為T_n，求T_n；
（3）b₁₆是否為數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別利用等差及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式表示出a₄及b₄，根據(jù)a₄=b₄列出等式，用d表示出a₁，同理分別利用等差及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式表示出a₁₀及b₁₀，根據(jù)a₁₀=b₁₀列出等式，用d表示出a₁，兩者相等列出關(guān)于d的方程，求出方程的解得到d的值，可求出a₁的值，即可確定出數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由第一問求出等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)與公比，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可表示出數(shù)列{b_n}的前n和為T_n；
（3）b₁₆是{a_n}中的項(xiàng)，為第34項(xiàng)，理由為：先利用{b_n}的通項(xiàng)公式表示出b₁₆，令{a_n}的通項(xiàng)公式等于表示出的b₁₆，可得出n的值，進(jìn)而得到b₁₆為數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)，由n的值可得出是第幾項(xiàng)．
解答：解：（1）a₄=a₁+3d，b₄=b₁•d³，∴a₁+3d=a₁d³，∴a₁=，
∵a₁₀=a₁+9d，b₁₀=a₁•d⁹，∴a₁+9d=a₁•d⁹，a₁=，
∴=，∴d⁹-1=3d³-3，
∴（d³-1）（d⁶+d³+1）-3（d³-1）=0，
∵d≠1，∴d⁶+d³-2=0，∴d³=-2．
∴d=-，a₁==，
a_n=a₁+（n-1）d=（2-n），b_n=•（-）^n-1；
（2）∵b₁=a₁=，d=-，
則數(shù)列{b_n}的前n和為T_n==（1-）=-；
（3）b₁₆是{a_n}中的項(xiàng)，為第34項(xiàng)，理由為：
假設(shè)b₁₆是{a_n}中的項(xiàng)，
∵b₁₆=a₁d¹⁵=•（-）¹⁵=-32，a_n=（2-n），
∴（2-n）=-32，解得：n=34，
∴b₁₆是{a_n}中的項(xiàng)，為第34項(xiàng)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，熟練掌握性質(zhì)及公式是解本題的關(guān)鍵．