Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，側面AA₁C₁C⊥側面ABB₁A₁，AA₁=A₁C=CA=2，．
（1）求證：AA₁⊥BC；
（2）求二面角A-BC-A₁的余弦值；
（3）若，在線段CA₁上是否存在一點E，使得DE∥平
面ABC？若存在，求出CE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

證明：（1）取AA₁中點O，連接CO，BO．
∵CA=CA₁，
∴CO⊥AA₁，
又∵BA=BA₁，
∴BO⊥AA₁，
∵BO∩CO=O，
∴AA₁⊥平面BOC，
∵BC?平面BOC，
∴AA₁⊥BC．
解：（2）由（1）CO⊥AA₁，又側面AA₁C₁C⊥側面ABB₁A₁，側面AA₁C₁C∩側面ABB₁A₁=AA₁
∴CO⊥平面ABB₁A₁，而BO⊥AA₁，
∴OA，OB，OC兩兩垂直．
如圖，以O為坐標原點，分別以OA，OB，OC為x，y，z軸建立空間直角坐標系O-xyz．則有由對稱性知，二面角A-BC-A₁的大小為二面角A-BC-O的兩倍
設是平面ABC的一個法向量，
∵，
由即解得
令z₁=1，∴．
又是平面OBC的一個法向量，
設二面角A-BC-O為θ，則，
所以二面角A-BC-A₁的余弦值是．
（3）假設存在滿足條件的點E，∵，故可設=，
則，
∵，
∴，
∴，
∵DE∥平面ABC，
∴，
即，解得，
∴
分析：（1）取AA₁中點O，連接CO，BO，由已知中A₁C=CA=2，．易得CO⊥AA₁且BO⊥AA₁，結合線面垂直的判定定理可得AA₁⊥平面BOC，進而由線面垂直的性質定理得到AA₁⊥BC；
（2）結合（1）的結論可得OA，OB，OC兩兩垂直，以O為坐標原點，分別以OA，OB，OC為x，y，z軸建立空間直角坐標系O-xyz．我們求出平面ABC的一個法向量和平面OBC的一個法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角A-BC-A₁的余弦值；
（3）設，結合DE∥平面ABC，，我們可以構造一個關于λ的方程，解方程求出λ的值，即可得到向量模的大�。�
點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，空間中直線與直線之間的位置關系，向量語言表述線面的垂直、平行關系，其中（1）的關鍵是證得CO⊥AA₁且BO⊥AA₁，（2）的關鍵是求出平面ABC的一個法向量和平面OBC的一個法向量，（3）的關鍵是根據(jù)已知條件求出λ的值．