Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上任意一點P，作與實軸平行的直線，交兩漸近線于M、N兩點，若

PM

•

PN

=2b2，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  6

  3

• B、

  3

• C、

  6

  2

• D、

  2

Answer 1

分析：設(shè)雙曲線上的P（x₀，y₀），可得

x 2 0

a2

-

y 2 0

b2

=1．再利用數(shù)量積運算和離心率計算公式即可得出．

解答：解：設(shè)雙曲線上的P（x₀，y₀），則

x 2 0

a2

-

y 2 0

b2

=1，∴

x

2 0

=a2+

a2

b2

y

2 0

．
聯(lián)立

y=y0 y= b a x

，解得x=

ay0

b

，取M(

ay0

b

，y0)．
同理可得N(-

ay0

b

，y0)．
∴

PM

•

PN

=(

ay0

b

-x0，0)•(-

ay0

b

-x0，0)=

x

2 0

-

a2 y 2 0

b2

=a²．
∴a²=2b²．
∴e=

c

a

=

1+ b2 a2

=

1+ 1 2

=

6

2

．
故選C．

點評：本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、數(shù)量積運算和離心率計算公式，屬于中檔題．