Question

已知雙曲線的中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點在x軸上，兩準(zhǔn)線間的距離為，并且與直線相交所得線段中點的橫坐標(biāo)為，求這個雙曲線方程．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)求雙曲線方程為：（a＞b＞0），直線 y=（x-4）與雙曲線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將二者聯(lián)立，結(jié)合線段中點的橫坐標(biāo)為，可求得線段中點的縱坐標(biāo)為-，再利用韋達(dá)定理可求得b²，c²與a²之間的關(guān)系，再由兩準(zhǔn)線間的距離為，可求得這個雙曲線方程．
解答：解：由題意可設(shè)所求雙曲線方程為：，
設(shè)直線 y=（x-4）與雙曲線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則（1）-（2）得：
即，
又由線段AB中點的橫坐標(biāo)為可得，其縱坐標(biāo)為，
∴，．
又∵，
∴，
∴，，
又∵雙曲線兩準(zhǔn)線間的距離為，
∴，
∴
∴a=3，a²=9，c²=a²=16．
∴b²=c²-a²=7．
∴所求雙曲線方程為：．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查平方差法與韋達(dá)定理的使用，突出考查化歸思想與方程思想，培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問題與解決問題的能力，屬于難題．